Question

如图，在四边ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB和CD的长．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M．构建矩形HBMD．利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度．

解答：解：如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M．
∵∠B=90°，
∴四边形HBMD是矩形．
∴HD=BM，BH=MD，∠ADM=∠ADC=90°．
又∵∠C=60°，
∴∠ADH=∠MDC=30°，
∴在直角△AHD中，AD=1，∠ADH=30°，则AH=

1

2

AD=

1

2

，DH=

3

2

．
∴MC=BC-BM=BC-DH=2-

3

2

=

4- 3

2

．
∴在直角△CMD中，CD=2MC=4-

3

，DM=

3

2

•CD=

4 3 -3

2

．
∴AB=BH-AH=DM-AH=

4 3 -3

2

-

1

2

=2

3

-2．

点评：本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质．此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形．