Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，， 交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：；

（2）当时，求EF的长．

Answer 1

（1）过D作DG⊥BC于G．

由已知可得，四边形ABGD为正方形． …………１分

 ∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC ．       ………………………1分

又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC ．

∴DE=DC，且AE=GC．      ……………………1分

在△EDF和△CDF中，

∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，

∴△EDF≌△CDF．

∴EF=CF ．  …………………………………1分

（2）∵tan∠ADE==， ∴．  ………………………1分

设，则，BE=6－2=4.

由勾股定理，得　．

解之，得　， 即．  …………………3分