Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的两根为x₁和x₂，且（x₁-2）（x₁-x₂）=0，则k的值是

 

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Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：

分析：先由（x₁-2）（x₁-x₂）=0，得出x₁-2=0或x₁-x₂=0，再分两种情况进行讨论：①如果x₁-2=0，将x=2代入x²+（2k+1）x+k²-2=0，得4+2（2k+1）+k²-2=0，解方程求出k=-2；②如果x₁-x₂=0，那么将x₁+x₂=-（2k+1），x₁x₂=k²-2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．

解答：解：∵（x₁-2）（x₁-x₂）=0，
∴x₁-2=0或x₁-x₂=0．
①如果x₁-2=0，那么x₁=2，
将x=2代入x²+（2k+1）x+k²-2=0，
得4+2（2k+1）+k²-2=0，
整理，得k²+4k+4=0，
解得k=-2；
②如果x₁-x₂=0，
那么（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=[-（2k+1）]²-4（k²-2）=4k+9=0，
解得k=-

9

4

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又∵△=（2k+1）²-4（k²-2）≥0．
解得：k≥-

9

4

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所以k的值为-2或-

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4

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故答案为：-2或-

9

4

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点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．