Question

14．规定：M_（1）=-2，M_（2）=（-2）×（-2），M_（3）=（-2）×（-2）×（-2），…M_（n）=$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…（-2）}}{n个（-2）相乘}$
（1）计算：M_（5）+M_（6）
（2）求2×M_（2015）+M_（2016）的值
（3）试说明：2×M_（n）与 M_（n+1）互为相反数．

Answer 1

分析 （1）根据规定M_（5）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），M_（6）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），再按照运算法则运算即可；
（2）根据规定，2×M_（2015）+M_{（2016））}=2×$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…×（-2）}}{2015个（-2）相乘}$+$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…（-2）}}{2016个（-2）相乘}$，然后运算即可．  
（3）当n为奇数时，则n+1为偶数，2×M_（n）为-2ⁿ⁺¹，M_（n+1）为2ⁿ⁺¹，可得2×M_（n）+M_（n+1）=0，可得结论；
当n为偶数时，则n+1为奇数，2×M_（n）为2ⁿ⁺¹，M_（n+1）为-2ⁿ⁺¹，可得2×M_（n）+M_（n+1）=0，可得结论．

解答 （1）解：根据规定可得，
M_（5）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），M_（6）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2），
∴M_（5）+M_（6）=（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）+（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）
=（-2）⁵+2⁶
=-2⁵+2⁶
=2⁵；

（2）解：根据规定，
2×M_（2015）+M_{（2016））}=2×$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…×（-2）}}{2015个（-2）相乘}$+$\underset{\underbrace{（-2）×（-2）×（-2）×…（-2）}}{2016个（-2）相乘}$，
=2×（-2²⁰¹⁵）+2²⁰¹⁶
=-2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁶
=0；

（3）证明：当n为奇数时，则n+1为偶数，
2×M_（n）=-2ⁿ⁺¹，M_（n+1）=2ⁿ⁺¹，
∴2×M_（n）+M_（n+1）=0，
∴2×M_（n）与 M_（n+1）互为相反数；
当n为偶数时，则n+1为奇数，
2×M_（n）=2ⁿ⁺¹，M_（n+1）=-2ⁿ⁺¹，
∴2×M_（n）+M_（n+1）=0，
∴2×M_（n）与 M_（n+1）互为相反数．

点评 本题主要考查了新定义运算和有理数的混合运算，掌握规律是解答此题的关键．