题目内容
10．
如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；
（2）若两动点M、H分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头，并以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
分析 （1）根据抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，代入解析式，求出a、b即可，
（2）先求出OB、OC、AB的长和∠OBC的度数，分两种情况讨论当0＜t≤2时，根据PM∥OC，求出PM=2t，根据BH=t，求出AH=6-t，得出S△AHP=$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=-t2+6t，从而求出S的最大值，当2＜t≤3时，根据BH求出AH，再求出BM，根据∠OBC=45°，得出PM=6-t，S△AHP=-$\frac{3}{4}$t2+4t+3，从而求出S的最大值，最后进行比较即可．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b-4}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{1}{2}$x2-x-4；
（2）∵抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点B的坐标是（4，0）点C的坐标是（0，-4），
∴OB=OC=4，AB=6，
∴∠OBC=45°，
如图1：当0＜t≤2时，
∵PM∥OC，
∴$\frac{AM}{OA}$=$\frac{PM}{OC}$，
∴$\frac{t}{2}$=$\frac{PM}{4}$，
∴PM=2t，
∵BH=t，
∴AH=6-t，
∴S△AHP=$\frac{1}{2}$AH•PM=$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=-t2+6t，
∴S的最大值是8，
如图2：当2＜t≤3时，
∵BH=2-（t-2）×$\frac{3}{2}$=5-$\frac{3}{2}$t，
∴AH=6-BH=1+$\frac{3}{2}$t，
∵AM=t，
∴BM=6-t，
∵∠OBC=45°，
∴BM=PM=6-t，
∴S△AHP=$\frac{1}{2}$AH•PM=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2}$t）（6-t）=-$\frac{3}{4}$t2+4t+3，
∴S的最大值=$\frac{25}{3}$，
综上所述，S的最大值是$\frac{25}{3}$．
点评 此题考查了二次函数综合题，用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形的面积、平行线分线段成比例定理，关键是根据题意作出辅助线，注意分两种情况讨论．
| A． | x≠-$\frac{1}{2}$ | B． | x≠$\frac{1}{2}$ | C． | x=$\frac{1}{2}$ | D． | x=-$\frac{1}{2}$ |
| A． | 5 | B． | 6 | C． | 7 | D． | 5或6或7 |
如图，一次函数y=x+6与反比例函y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象相交于A，B两点，与x轴、y轴交于E、F，点B的横坐标-4．| A． | $\sqrt{\frac{1}{2}}$ | B． | $\sqrt{12}$ | C． | $\sqrt{18}$ | D． | $\sqrt{32}$ |
如图，C处在B处北偏西75°方向，C处在A处的北偏西40°方向，求∠ACB．