Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+k²+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k的值．

Answer 1

解：设此方程两根分别是x₁、x₂，那么，
x₁+x₂=-=k+1，x₁•x₂==k²+1，
∵矩形的对角线为，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（）²，
∴（k+1）²-2（k²+1）=5，
即k²+2k-6=0，
解得k=2或k=-6，
∵方程的两根是矩形两邻边的长，
∴△=b²-4ac≥0，
即（k+1）²-4（k²+1）≥0，
解得k≥，
∴k=2．
分析：先设此方程两根分别是x₁、x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-=k+1，x₁•x₂==k²+1，由于矩形的对角线长为，根据勾股定理可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（）²，于是（k+1）²-2（k²+1）=5，解得k=2或k=-6，再根据根的判别式可知△≥0，即（k+1）²-4（k²+1）≥0，解得k≥，于是可确定k=2．
点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式、勾股定理，解题的关键是使用完全平方公式、并解一元二次方程．