Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且≠ 90°），得到Rt△，

（1）如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；

（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥交边于点E，联结BE.

①当时，设，，求与之间的函数解析式及定义域；

②当时，求的长.

      

Answer 1

解：（1）在Rt△中，∵∠A=30°，

∴．

由旋转可知：，，

∴△为等边三角形．

∴＝

（2）① 当时，点D在AB边上（如图）.

     ∵ DE∥，

     ∴

                 由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.

∴ ，．

∴ .

∴ △CAD∽△CBE. ．

∴.

∵∠A=30°

∴.

∴（0﹤﹤2）

②当时，点D在AB边上

AD=x，，∠DBE=90°.

    此时，.

               当S =时，.

               整理，得 .

  解得 ，即AD=1.

当时，点D在AB的延长线上（如图）.

               仍设AD=x，则，∠DBE=90°..

               .

               当S =时，.

               整理，得 .

 解得 ，（负值，舍去）.

               即.

              综上所述：AD=1或.