Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．
①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；
②当S△BDE=

1

3

S△ABC时，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知

CD

CA′

=

CE

CB′

、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得y=

3

3

x（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC为等边三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．
∵DE∥A'B'，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

．（1分）
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

，（1分）
∴

CD

CE

=

CA

CB

．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴

BE

AD

=

BC

AC

．
∵∠A=30°
∴

y

x

=

BC

AC

=

3

3

．（1分）
∴y=

3

3

x（0＜x＜2）（2分）
②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

，
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

，
∴

CD

CE

=

CA

CB

，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此时，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(2-x)×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
当S=

1

3

S△ABC时，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．（2分）
当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．
仍设AD=x，则BD=x-2，∠DBE=90°，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(x-2)×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
当S=

1

3

S△ABC时，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得x1=1+

2

，x2=1-

2

（负值，舍去）．
即AD=1+

2

．（2分）
综上所述：AD=1或AD=1+

2

．

点评：本题主要考查旋转、全等三角形、解直角三角形、平行线分线段成比例等知识．解决本题的关键是结合图形，分类讨论．