Question

如图所示，已知：中，．

（1）尺规作图：作的平分线交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，将沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕 交于点，交于点，连接，再展回到原图形，得到四边形．
①试判断四边形AEDF的形状，并证明；
②若AC=8,CD=4，求四边形AEDF的周长和BD的长．

Answer 1

（1）作图正确

写出结论：射线就是所要求的角平分线
（2）四边形是菱形．
证明：如图，根据题意，可知是线段的垂直平分线
则
由（1）可知，是的平分线





四边形是菱形．
设，则
在中，
解得
 即四边形的周长是20
由可知，四边形是菱形




解得   即的长是．

（1）根据作角平分线的作图方法进行；
（2）①根据题意，可知是线段的垂直平分线
则，再有是的平分线，，
，，四边形是菱形；②设，则
在中根据勾股定理即可求出x的值，从而得到周长，再证得△BFD∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长。