Question

10．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD=3，CE=4，AD=3DE，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 以A为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于G，连接AG，则AG=AD=3DE；作AF⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC，根据已知求得DF=FG=FE+1=$\frac{1}{2}$（DE+1）．BF=3+DF=3+$\frac{1}{2}$（DE+1）=$\frac{1}{2}$（DE+7），进而得出AF²=AD²-DF²=$\frac{1}{4}$（35DE²-2DE-1），BF²=$\frac{1}{4}$（DE²+14DE+49），根据直角三角形斜边中线的性质得出BF=CF，得出$\frac{1}{4}$（35DE²-2DE-1）=$\frac{1}{4}$（DE²+14DE+49），解得DE=$\frac{25}{17}$，进而求得BC，进一步求得AF，然后根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：以A为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于G，连接AG，则AG=AD=3DE；作AF⊥BC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，BF=FC，
∵BD=3，CE=4，
∴DF=FG=FE+1=$\frac{1}{2}$（DE+1）．

∴AF²=AD²-DF²=（3DE）²-[$\frac{1}{2}$（DE+1）]²=9DE²-$\frac{1}{4}$（DE²+2DE+1）=$\frac{1}{4}$（35DE²-2DE-1），
∵BF=3+DF=3+$\frac{1}{2}$（DE+1）=$\frac{1}{2}$（DE+7），
∴BF²=$\frac{1}{4}$（DE²+14DE+49），
在等腰直角△ABC中，BF=CF，
∴BF=AF，
∴$\frac{1}{4}$（35DE²-2DE-1）=$\frac{1}{4}$（DE²+14DE+49），
整理得，17DE²-8DE-25=0
解得，DE=$\frac{25}{17}$或-1．（其中DE=-1舍去）
BC=BD+EC+DE=$\frac{144}{17}$，AF=BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{72}{17}$．

△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AFxBD=$\frac{1}{2}$×$\frac{72}{17}$×3=$\frac{108}{17}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．