Question

5．如图，在平面直角坐标系中，过点B（2，2）的直线AC，交y轴于点A（0，6），交x轴于点C．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求△OBC的面积；
（3）探究：当点M（0，m）在y轴正半轴上运动时，△OBM能否为等腰三角形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AC解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）对于直线AC解析式，令y=0求出x的值，确定出OC的长，高为B的纵坐标，求出三角形OBC面积即可；
（3）如图所示，分三种情况，利用等腰三角形的性质求出M坐标即可．

解答 解：（1）设直线AC解析式为y=kx+b，
把A（0，6），B（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6①}\\{2k+b=2②}\end{array}\right.$，
把①代入②得：2k+6=2，
解得：k=-2，
则直线AC解析式为y=-2x+6；
（2）对于直线y=-2x+6，
令y=0，得到x=3，即OC=3，
则S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）分三种情况考虑：
当BM₁=OM₁=2时，△OBM₁为等腰直角三角形，此时M₁（0，2）；
当OB=OM₂=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$时，△OBM₂为等腰三角形，此时M₂（0，2$\sqrt{2}$）；
当BM₃=OM₃=2时，△M₃OB为等腰直角三角形，OM₃=4，即M₃（0，4）．
综上，M坐标为（0，2）；（0，4）；（0，2$\sqrt{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．