Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系x0y中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线：过A、B两点，与x轴的另一交点为点C.

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）如图2，作抛物线，使得抛物线与恰好关于原点对称，与在第一象限内交于点D，连接AD，CD.

①请直接写出抛物线的解析式和点D的坐标；

②求四边形AOCD的面积；

（3）已知抛物线，的顶点为M，设P为抛物线对称轴上一点，Q为直线上一点，是否存在以点M，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线C1的解析式为：y=-x2+x+4，C（8，0）；

（2）①抛物线C2的解析式为y=x2+x-4，D（4，6）；②S四边形AOCD=32；

（3）存在以点M，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为P（3，）或P（3，）．

【解析】

（1）先求出直线y=2x+4与x轴、y轴交点坐标，待定系数法求抛物线解析式即可；

（2）①根据两抛物线关于原点对称，将抛物线C1的解析式中的x和y分别换成-x和-y，整理后即为抛物线C2的解析式；再通过解方程组求点D的坐标；

②求四边形AOCD的面积，过点D作DE⊥x轴于E，将四边形AOCD分割成一个梯形和一个直角三角形即可求得；

（3）过B作BN∥y轴，过M作MN∥x轴与BN交于点N，分两种情形分别求点P的坐标：①BM为平行四边形的边，②BM为平行四边形的对角线．

（1）∵直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，

∴A（0，4），B（-2，0），

∵抛物线C1：过A，B两点，

∴c=4，0=-×（-2）2-2b+4，解得b=，

∴抛物线C1的解析式为：y=-x2+x+4，

令y=0，得-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=8，

∴C（8，0）；

（2）①∵抛物线C2与C1恰好关于原点对称，

∴抛物线C2的解析式为y=x2+x-4，

解方程组，

得：，，

∵点D在第一象限内，∴D（4，6）；

②如图，

过D作DE⊥x轴于E，则OE=4，CE=OC-OE=8-4=4，DE=6，

S四边形AOCD=S梯形AOED+S△CDE=（OA+DE）×OE+DE×CE=（4+6）×4+×6×4=32；

（3）存在．

如图：

过B作BN∥y轴，过M作MN∥x轴与BN交于点N，

∵抛物线C2的解析式为y=x2+x-4= (x+3)2-，

∴顶点M（-3，-），

∴BN=，MN=1，

抛物线C1的对称轴为：直线x=3，设P（3，m）；

①以点M，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形，若MQ为对角线，则BM∥PQ，BM=PQ，

∴Q（4，m+），

又∵Q为直线y=2x+4上一点，

∴m+=2×4+4，解得：m=，

∴P（3，）；

②若BM为对角线，设P（3，m），Q（n，2n+4），

∵BM中点坐标为（-，/span>），

∴，解得，

∴P（3，），

③若BQ为对角线，∵BM∥PQ，BM=PQ，

∴Q（2，8），设P（3，m），

则m-=8+0，解得：m=，

∴P（3，），

综上所述，存在以点M，Q，P，B为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为P（3，）或P（3，）．