Question

15．如图①，△ABC中，AB=AC，在BC上取BF=CE，求证：AE=AF．
如图②，等边△DBE中，延长BD至点A，延长BE至点F，使DA=BF，求证：AE=AF．

Answer 1

分析 （1）只需证明△ABF≌△ACE即可．
（2）过点A作AM∥DE，延长BF交AM于点M，只需证明△ABE≌△AMF即可．

解答 （1）证明：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C=60°
在△ABF与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠C=60°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ACE（SAS）
∴AE=AF
（2）如下图所示：
过点A作AM∥DE，延长BF交AM于点M，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BED=∠M=60°，△ABM是等边三角形，
∴AB=AM
∵DE∥AM，∠DAM=∠EMA=60°
∴四边形ADEM是等腰梯形，
∴AD=ME
又∵AD=BF，
∴BE=FM
在△ABE与△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠B=∠M}\\{BE=MF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△AMF
∴AE=AF

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质与等边三角形的性质，解题的关键是弄清楚需要证明的结论与全等三角形之间的关系．