Question

6．如图所示，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A（m，4），B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，AO=5．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点P是双曲线在第四象限内点B左侧的一点，过点P作PD⊥AB于点D，当PD=2$\sqrt{5}$时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（-3，4），再把A点坐标代入代入y=$\frac{k}{x}$可求得m=-12，则可得到反比例函数解析式；然后把A点坐标代入y=-$\frac{1}{2}$x+b得到关于b的方程，再解方程求出b的值，从而可确定一次函数解析式；
（2）根据已知条件得到直线PD的解析式为y=2x-10，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）作AD⊥x轴于D，如图，
∴AD=4，
∵OA=5，
∴OD=3，
∴A（-3，4），
把A（-3，4）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b，解得b=$\frac{5}{2}$，
所以一次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）∵反比例函数的解析式为y=-$\frac{12}{x}$，
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$与x轴的交点D（5，0）；
∵PD⊥AB于点D，
∴设直线PD的解析式为y=2x+m，
把D（5，0）代入y=2x+m，得m=-10，
∴直线PD的解析式为y=2x-10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-10}\\{y=-\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-6}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$，
∴P（3，-4）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．