Question

如图，抛物线y=-x²+4x+5交X轴于A、以A左B右）两点，交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分？如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，再令x=0求出点C的坐标，设直线BC解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，根据抛物线和直线BC的解析式表示出PF，再根据S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF整理即可得解；
（3）设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG∥PH，然后判断出△AGE和△AHP相似，根据相似三角形对应边成比例可得

AE

AP

=

AG

AH

=

EG

PH

=

1

2

，再表示出EG、HG，然后表示出BG，根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根据等角对等边可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根据抛物线解析式求出点P的纵坐标，即可得解．

解答：解：（1）当y=0时，-x²+4x+5=0，
即x²-4x-5=0，
解得x₁=5，x₂=-1，
∵A左B右，
∴A（-1，0），B（5，O），
当x=0时，y=5，
∴C（0，5），
设直线BC解析式为y=kx+b，
则

5k+b=0 0×k+b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
∴直线BC解析式为，y=-x+5；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，
∵P点的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5）F（m，-m+5），
∴PF=（-m²+4m+5）-（-m+5）=-m²+5m，
∵S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF，
∴S=

1

2

（-m²+5m）×m+

1

2

（-m²+5m）×（5-m）=-

5

2

m²+

25

2

m，
∴S=-

5

2

m²+

25

2

m；

（3）存在点P．
如图，设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，
∴EG∥PH，
∴△AGE∽△AHP，
∴

AE

AP

=

AG

AH

=

EG

PH

=

1

2

，
∵P（m，-m²+4m+5），
∴EG=

1

2

PH=

-m2+4m+5

2

，
AH=m-（-1）=m+1，
GH=

1

2

AH=

m+1

2

，
HB=5-m，GB=GH+HB=

m+1

2

+5-m，
∵OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴EG=BG，
∴

-m2+4m+5

2

=

m+1

2

+5-m，
整理得，m²-5m+6=0，
解得m₁=2，m₂=3，
当m=2时，-m²+4m+5=-2²+4×2+5=9，
此时，P（2，9），
当m=3时，-m²+4m+5=-3²+4×3+5=8，
此时P（3，8），
∴存在这样的点P（2，9）或P（3，8），使得线段PA被BC平分．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求法，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难点在于（3）作辅助线并根据EG=BG列出方程．