Question

7．已知a+$\frac{1}{a}$=3，则a-$\frac{1}{a}$的值是±$\sqrt{5}$；已知x²-3x+1=0，则x⁴+x^-4=47．

Answer 1

分析 首先将a+$\frac{1}{a}$=3两边同时平方得到a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=9，然后可得到（a-$\frac{1}{a}$）²=5，最后利用算术平方根的性质求解即可；
方程x²-3x+1=0两边同时除以x得：x+$\frac{1}{x}$=3，接下来，方程两边进行平方求得x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7，最后方程两边再次进行平方可求得x⁴+x^-4的值．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=3，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=9．
∴a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=9．
∴a²-2+$\frac{1}{{a}^{2}}$=5．
∴（a-$\frac{1}{a}$）²=5．
∴a-$\frac{1}{a}$=±$\sqrt{5}$．
方程x²-3x+1=0两边同时除以x得：x+$\frac{1}{x}$=3，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7．
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$+2=49．
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=47，即x⁴+x^-4=47．
故答案为：$±\sqrt{5}$；47．

点评 本题主要考查的是完全平方公式的应用，能够应用完全平方公式对方程进行变形是解题的关键．