Question

4．新定义：若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请判断二次函数y=2（x+3）²-1与二次函数y=$\frac{1}{3}{x^2}$+3x+2是否为“同簇二次函数”，并说明理由；
（2）已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过点A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，求函数y₂的表达式．

Answer 1

分析 （1）求得顶点坐标，进行判定即可；
（2）先把A点坐标代入y₁可计算出m=1，则y₁=2x²-4x+3，y₂=ax²+bx+5，再求出y₁的顶点坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征利用待定系数法求函数解析式即可．

解答 解：（1）二次函数y=2（x+3）²-1的开口向上，顶点坐标为（-3，-1），
二次函数y=$\frac{1}{3}{x^2}$+3x+2=$\frac{1}{3}$（x+$\frac{9}{2}$）-$\frac{19}{4}$的开口向上，顶点坐标为（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{19}{4}$），
所以不是同簇二次函数；
（2）∵y₁的图象经过点A（1，1），
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1．
整理得：m²-2m+1=0．
解得：m₁=m₂=1．
∴y₁=2x²-4x+3
=2（x-1）²+1．
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5
=（a+2）x²+（b-4）x+8
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1
=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-4=-2（a+2）}\\{8=（a+2）+1}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=-10}\end{array}\right.$．
∴函数y₂的表达式为：y₂=5x²-10x+5．
∴y₂=5x²-10x+5
=5（x-1）²．

点评 此题考查二次函数的性质，掌握对称轴与顶点坐标的求法是解决问题的关键．