Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为直线BC上一点．

（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；

（2）如图2，点E为BC延长长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为ED的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥CM；

（3）如图3，在（2）条件下，P，Q为AD边上的两个动点，且PQ＝5，连接PB、MQ、BM，求四边形PBMQ的周长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）BE=8﹣2；（2）证明见解析；（3） +5+3．

【解析】

（1）先求出DE＝AD＝4，最后用勾股定理即可得出结论；

（2）先判断出∠BMD＝90°，再判断出△ADM≌△BCM得出∠AMD＝∠BMC，即可得出结论；

（3）由于BM和PQ是定值，只要BP+QM最小，利用对称确定出MG'就是BP+QM的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论．

解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，

∴DE＝AD＝8，

在Rt△CDE中，CE＝，

∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2；

（2）如图2，连接BM，

∵点M是DE的中点，

∴DM＝EM，

∵BD＝BE，

∴BM⊥DE，

∴∠BMD＝90°，

∵点M是Rt△CDE的斜边的中点，

∴DM＝CM，

∴∠CDM＝∠DCM，

∴∠ADM＝∠BCM

在△ADM和△BCM中，

，

∴△ADM≌△BCM（SAS），

∴∠AMD＝∠BMC，

∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，

∴AM⊥CM；

（3）如图3中，过点Q作QG∥BP交BC于G，作点G关于AD的对称点G'，连接QG'，当点G'，Q，M在同一条线上时，QM+BP最小，而PQ和BM是定值，

∴此时，四边形PBMQ周长最小，

∵QG∥PB，PQ∥BG，

∴四边形BPQG是平行四边形，

∴QG＝BP，BG＝PQ＝5，

∴CG＝3，如图2，在Rt△BCD中，CD＝6，BC＝8，

∴BD＝10，

∴BE＝10，

∴BG＝BE﹣BG＝5，CE＝BE﹣BC＝2，

∴HM＝1+3＝4，HG＝CD＝3，

在Rt△MHG'中，HG'＝6+3＝9，HM＝4，

∴MG'＝，

在Rt△CDE中，DE＝，

∴ME＝，

在Rt△BME中，BM＝ ＝3，

∴四边形PBMQ周长最小值为BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+PM＝ +5+3，