Question

6．如图，长方体的长、宽、高分别为5、4、3，在下底面A处有一蚂蚁，它想吃到与它相对的上底面B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（　　）

• A． $\sqrt{74}$
• B． 5$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 3$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 先将长方体前面和右面的两个面展开，就成为了一个矩形，再连接AB，利用勾股定理就可以求出线段AB的值，就是蚂蚁爬行的最短距离．

解答 解：展开长方体的侧面（如图），连接AB

在图（1）中由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{5}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{74}$，
在图（2）中由勾股定理，得AB=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{90}$=3$\sqrt{10}$，
在图（3）中由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{80}$=4$\sqrt{5}$
∵$\sqrt{74}$＜4$\sqrt{5}$＜3$\sqrt{10}$，
∴蚂蚁爬行的最短距离$\sqrt{74}$．
关系A．

点评 本题考查了长方体的展开图的运用，两点之间最短问题的运用，勾股定理的运用及实数大小的比较．在解时要将实际问题转化为数学问题使抽象的变得直观是解答本题的关键．