Question

14．如图1，在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，AD交⊙O于F，AF=6，E是半圆的中点，连接FE交AC于G，求S_△AFG．

Answer 1

分析 （1）由CD与⊙O相切，AD⊥CD，可得AD∥OC，继而可得∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）连接BF，分别作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，GP⊥FB于P，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，AB=10，根据勾股定理得到BF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，由已知条件得到∠3=∠4，推出点G为⊙O的内心，M、N、P是△FAB内切圆与三边的切点，于是得到GM=GN=GP，AM=AN，BM=BP，FN=FP．求得FN=（6+8-10）÷2=2．GN=FN=2．即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；

（2）连接BF，分别作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，GP⊥FB于P，
∵AB是直径，半径为5，
∴∠AFB=90°，AB=10，
又∵AF=6，
∴BF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵点E是半圆的中点，
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2，
∴点G为⊙O的内心，M、N、P是△FAB内切圆与三边的切点，
∴GM=GN=GP，AM=AN，BM=BP，FN=FP．
∴FN=（6+8-10）÷2=2．GN=FN=2．
∴S_△AFG=0.5AF•GN=0.5×6×2=6．

点评 此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及内切圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．