Question

【题目】如图（1），的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合.

（1）若正方形的边长为，用含的代数式表示：正方形的周长等于_______，的面积等于_______.

（2）如图2，将绕点顺时针旋转，边和正方形的边交于点.连结，设旋转角.

①试说明；

②若有一个内角等于，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①见解析；②β=15°.

【解析】

（1）根据正方形的周长和等腰直角三角形的计算公式计算即可；

（2）①根据∠ECF和∠ACD都是45°即可说明；②首先判定△CAE是等腰三角形，明确∠β=∠ACE，再对的内角展开讨论，即可求得结果.

解：（1）正方形的周长等于，的面积等于.

故答案为，；

（2）①如图，∵的顶点、、分别与正方形的顶点、、重合，

∴是等腰直角三角形，∴∠ECF=45°，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，

即∠ACF+∠1=45°，∠DCP+∠1=45°，

∴.

②∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA，且∠CAE＜90°，

若∠PAE=60°，则∠CAE=45°+60°=105°>90°，不符合题意；

若∠APE=60°，则∠APC=120°，∴∠1=180°―120°―45°=15°，∴∠BCF=∠1=15°，即旋转角β=15°；

若∠AEP=60°，则∠CAE=60°，所以∠1=60°>45°，此时点P在AD的延长线上，与题意中“边和正方形的边交于点”相矛盾，不符合题意；

综上，旋转角β=15°.