题目内容
10．
直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-$\sqrt{3}$，0），另一条直线经过点A、C．（1）求线段AC所对应的函数表达式；
（2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度．当点M运动到C点时停止运动．设M运动t秒时，△ABM的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S=$\frac{1}{2}$S△ABC，（注：S△ABC表示△ABC的面积），求出对应的t值；
③当t=4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据M的运动时间及运动速度，可得BM的长，根据正切函数值，可得∠B的大小，再根据正弦函数，可得MD的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
②根据等底三角形面积间的S=$\frac{1}{2}$S△ABC的关系，可得MD=$\frac{1}{2}$OB，可得答案；
③根据题意，分三种情况：①点P在x轴上时；②点P在y轴上，且BP为斜边时；③点P在y轴上，且BP为另一条直角边时；然后根据直角三角形的性质分类讨论，求出P点坐标各是多少即可．
解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3=0，解得x=3$\sqrt{3}$，即B（3$\sqrt{3}$，0）
当x=0时，y=3，即C点坐标是（0，3）
设线段AC所对应的函数表达式y=kx+b，图象经过A、C点，得$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
故线段AC所对应的函数表达式y=$\sqrt{3}$x+3；
（2）如图1，
①由动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度，行驶t秒，得BM=t，
由线段的和差，得AB=3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$，
由正切函数，得tan∠B=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{3\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠ABC=30°，
由正弦函数，得MD=BM•sin∠ABC=$\frac{1}{2}$t．
由三角形面积公式，得S=$\frac{1}{2}$AB•MD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$t×4$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$t
即S=$\sqrt{3}$t；
②由S=$\frac{1}{2}$S△ABC，得MD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$t=$\frac{3}{2}$，解得t=3，
当t=3时，S=$\frac{1}{2}$S△ABC；
③如图2：当t=4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，
Ⅰ、如图2，
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当t=4时，BM=4，
∵∠ABC=30°，∠PMB=90°，
∴BP=BM÷cos30°=4÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴OP=OB-BP=3$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点P的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．
Ⅱ、如图3，PM和AB相交于点N，
，
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当t=4时，BM=4，
∵∠ABC=30°，∠NMB=90°，
∴BN=BM÷cos30°=4÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴ON=OB-BN=3$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠MNB=90°-30°=60°，∠ONP=∠MNB，
∴∠ONP=60°，
∴OP=ON•tan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$=1，
∴点P的坐标是（0，-1）．
Ⅲ、如图4，
，
∵OC=3，∠ABC=30°，∠BOC=90°，
∴BC=2×3=6，∠PCB=90°-30°=60°，
又∵∠PBC=90°，
∴∠BPC=90°-60°=30°，
∴CP=2BC=2×6=12，
∴OP=CP-OC=12-3=9，
∴点P的坐标是（0，-9）．
综上，可得
当t=4时，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，
点P的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）、（0，-1）或（0，-9）．
点评 此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，分析推理能力，还考查了分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，直角三角形的性质和应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．
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小学生10分钟应用题系列答案
如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE=75°．
如图，四边形ABCD是正方形，CF∥BD，DF∥BE，若BE=BD，则∠CDF=105°．
如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=-$\frac{25}{6}$x2+$\frac{10}{3}$x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为$10\frac{2}{3}$米．| 第一次 | 第二次 | |
| 甲种货车（辆） | 2 | 5 |
| 乙种货车（辆） | 3 | 6 |
| 累计运货（吨） | 13 | 28 |
（2）若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物，如按每吨付运费50元，则货主应付运费总额为多少元？
（3）若货主共有20吨货，计划租用该公司的货车正好（每辆车都满载）把这批货运完，该汽车公司共有哪几种运货方案？