Question

4．已知，点O在线段AB上，AB=6，OC为射线，且∠BOC=45°．动P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）如图1，若AO=2．
①当 t=6秒时，则OP=6，S_△ABP=9$\sqrt{2}$；
②当△ABP与△PBO相似时，求t的值；
（2）如图2，若点O为线段AB的中点，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，作PE⊥AB于E．求出PE的长，根据S_△APB=$\frac{1}{2}$•AB•PE，即可计算．
②如图1中，过点B作OC的垂线，垂足为H，由△ABP∽△PBO，得$\frac{AB}{PB}$=$\frac{PB}{BO}$，即PB²=BO•BA=24，推出BP=$2\sqrt{6}$，再利用勾股定理求出OH、HP即可解决问题．
（2）如图中，作OE∥AP，交BP于点E．由△QAO∽△OEP，得$\frac{AQ}{EO}=\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO，由三角形中位线定理得OE=3，推出AQ•EP=9，由此即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，作PE⊥AB于E．

在Rt△OPE中，OP=6，∠POE=45°，
∴PE=OP•sin45°=3$\sqrt{2}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$•AB•PE=9$\sqrt{2}$，
故答案为6，9$\sqrt{2}$．

②如图1中，过点B作OC的垂线，垂足为H，
∵△ABP∽△PBO，
∴$\frac{AB}{PB}$=$\frac{PB}{BO}$，
∴PB²=BO•BA=24，
∴BP=$2\sqrt{6}$，
在Rt△OHB中，∵∠BOH=45°，OB=4，
∴OH=HB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PHB中，PH=$\sqrt{P{B}^{2}-B{H}^{2}}$=4
∴OP=$2\sqrt{2}$+4，
∴t=$2\sqrt{2}$+4（秒）时，△ABP∽△PBO．

（2）如图中，作OE∥AP，交BP于点E．

∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∴∠OEB=∠APB=∠B，
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
又∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB，
又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPE，
∴△QAO∽△OEP，
∴$\frac{AQ}{EO}=\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO，
由三角形中位线定理得OE=3，
∴AQ•EP=9，
AQ•BP=AQ•2EP=2AQ•EP=18．

点评 本题考查相似三角形综合题、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．