Question

12．已知：关于x的一元二次方程x²-6x-m=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m取符合条件的最小整数，且一元二次方程x²-6x-m=0与x²+nx+1=0有一个相同的根，求常数n的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4×1×（-m）≥0，然后解不等式即可得到m的范围；
（2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程x²-6x-m=0，然后把它的解代入x²+nx+1=0可计算出n的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（-6）2-4×1×（-m）≥0，
解得m≥-9；
（2）∵m≥-9，
∴m的最小整数为-9，
此时方程变形为x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3，
把x=3代入x²+nx+1=0得9+3n+1=0，解得n=-$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．