Question

如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，点E为BC的中点．求证：DE=

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AB．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：取AC的中点F，连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF=DF，根据等边对等角可得∠CDF=∠C，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，EF=

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AB，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEF=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDF=∠DFE，再根据等角对等边可得EF=DE，从而得证．

解答：证明：如图，取AC的中点F，连接EF、DF，
∵AD为BC边上的高，
∴CF=DF，
∴∠CDF=∠C，
∵点E为BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=

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AB，
∴∠CEF=∠B，
由三角形的外角性质，∠CEF=∠CDF+∠DFE，
∵∠B=2∠C，
∴∠CDF+∠DFE=2∠CDF，
∴∠CDF=∠DFE，
∴EF=DE，
∴DE=

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2

AB．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等角对等边和等边对等角的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．