Question

如图，对于任意线段AB，可以构造以AB为对角线的矩形ACBD．连接CD，与AB交于A₁点，过A₁作BC的垂线段A₁C₁，垂足为C₁；连接C₁D，与AB交于A₂点，过A₂作BC的垂线段A₂C₂，垂足为C₂；连接C₂D，与AB交于A₃点，过A₃作BC的垂线段A₃C₃，垂足为C₃…如此下去，可以依次得到点A₄，A₅，…，An．如果设AB的长为1，依次可求得A₁B，A₂B，A₃B…的长，则A_nB的长为（用n的代数式表示）（　　）

• A、

  1

  n

• B、

  1

  2n

• C、

  1

  n+1

• D、

  1

  2n+1

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：规律型

分析：根据矩形性质得出∠DBC=90°，CA₁=

1

2

CD，AC=BD，AB=2A₁B，求出A₁B=

1

2

，证△CC₁A₁∽△CBD，推出

A1C1

BD

=

1

2

=

1

1+1

；同理求出A₂B=

2

3

A₁B=

1

3

=

1

2+1

；A₃B=

1

4

=

1

3+1

；A₄B=

1

5

=

1

4+1

，即可得出答案．

解答：解：∵四边形ACBD是矩形，
∴∠DBC=90°，CA₁=

1

2

CD，AC=BD，AB=2A₁B，
∵AB=1，
∴A₁B=

1

2

，
∵A₁C₁⊥BC，
∴A₁C₁∥DB，
∴△CC₁A₁∽△CBD，
∴

A1C1

BD

=

CA

CD

=

1

2

=

1

1+1

；
∵A₁C₁∥BD，
∴△A₁C₁A₂∽△BDA₂，
∴

BA2

A 1A2

=

BD

A 1C1

=

2

1

，
∴A₂B=

2

3

A₁B=

2

3

×

1

2

=

1

3

=

1

2+1

；
同理A₃B=

1

4

=

1

3+1

；
A₄B=

1

5

=

1

4+1

，
…
A_nB=

1

n+1

，
故选C．

点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，题目是一道比较典型的题目，有一定的难度．