Question

1、在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC（如图）．

Answer 1

分析：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，根据在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，得出∠AMB＞∠AMC．而∠AMB+∠AMC=180°，则∠AMC＜90°．由于P为锐角△AMC内一点，过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．

解答：证明：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
∴∠AMB＞∠AMC，
∴∠AMC＜90°．
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，
所以PB＞PC．

点评：本题考查了三角形三边关系及角平分线中线及高，难度较大，关键是掌握在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然和自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．