题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，0）、C（1，3
3
），将△OAC绕AC的中点G旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax2-2
3
x经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是x轴上A点左边的一个动点，当以P、A、D为顶点的三角形与△OAB相似时，求出点P的坐标；
（4）若点M是y轴上的一个动点，要使△MAD的周长最小，请直接写出点M的坐标．
（1）将A（2，0）代入y=ax2-2
3
x得，
4a-4
3
=0，
解得a=
3
，
∴抛物线的解析式为y=
3
x2-2
3
x；

（2）由旋转知，四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3
3
），
∴xB=1+2=3，yB=yC=3
3
，
∴B（3，3
3
），
将B（3，3
3
）代入y=
3
x2-2
3
x得，
3
×32-2
3
×3=3
3
，
∴点B在抛物线上；

（3）过点B作BE⊥x轴于E，过点D作DF⊥x轴于F，
由y=
3
x2-2
3
x=
3
（x-1）2-
3
得顶点D（1，-
3
），
∵B（3，3
3
），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE=
BE
OE
=
3
3
3
=
3
，
tan∠DAF=
DF
AF
=
3
2-1
=
3
，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB=
32+(3
3
)2
=6，
AD=
(2-1)2+(
3
)2
=2，
∴△APD和△OAB相似分如下两种情况：
①APD=∠OAB时△APD和△OAB相似，
∴
AP
OA
=
AD
OB
，
即
AP
2
=
2
6
，
解得AP=
2
3
，
∴OP=OA-AP=2-
2
3
=
4
3
，
∴点P的坐标为（
4
3
，0）；
②∠APD=∠OBA时△APD和△OBA相似，
∴
AP
OB
=
AD
OA
，
即
AP
6
=
2
2
，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴点P的坐标为（-4，0），
综上所述，点P（
4
3
，0）或（-4，0）；

（4）点A（2，0）关于y轴的对称点A′坐标为（-2，0），
根据轴对称确定最短路线，直线A′D与y轴的交点即为使△MAD的周长最小的点M的位置，
设直线A′D的解析式为y=kx+b，
则
-2k+b=0
k+b=-
3
，
解得
k=-
3
3
b=-
2
3
3
，
∴直线A′D的解析式为y=-
3
3
x-
2
3
3
，
x=0时，y=-
2
3
3
，
∴点M的坐标为（0，-
2
3
3
）．
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，B、C两点的坐标分别为B（1，0）、C(0，
3
)，且当x=-10和x=8时函数的值y相等．
（1）求a、b、c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接MN，将△BMN沿MN翻折，当运动时间为几秒时，B点恰好落在AC边上的P处？并求点P的坐标；
（3）上下平移该抛物线得到新的抛物线，设新抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，若△ODE与△OBC相似，求新抛物线的解析式．
如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
如图，直线AC分别交x轴y轴于点A（8，0）、C，抛物线y=-
1
4
x2+bx+c（a≠0）经过A，B两点；且OB=OC=
1
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OA，一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，交抛物线于点P，连接PB、设直线l移动的时间为t秒，
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t＜4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在直线l的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；
（3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．
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已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0）与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2-x-6=0的两个根（x1＜x2）且△ABC的面积为
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．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求直线AC的解析式；
（3）求直线BC的解析式．
已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2-m+2011的值为（　　）
A．2009B．2012C．2011D．2010
已知二次函数y=-x2+（m-2）x+m+1．
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

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