题目内容

如图，直线AC分别交x轴y轴于点A（8，0）、C，抛物线y=-
1
4
x2+bx+c（a≠0）经过A，B两点；且OB=OC=
1
2
OA，一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，交抛物线于点P，连接PB、设直线l移动的时间为t秒，
（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t＜4时，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）在直线l的移动过程中，直线AC上是否存在一点Q，使得P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）∵点A（8，0），
∴OA=8，
∴OB=OC=
1
2
OA=4，
∴B的坐标为（0，4），
将A、B两点的坐标代入y=-
1
4
x2+bx+c，
得
-
1
4
×64+8b+c=0
c=4
，
解得
b=
3
2
c=4
．
∴抛物线解析式为y=-
1
4
x2+
3
2
x+4；

（2）当0＜t＜4时，点P在第一象限，设P（2t，y），
把x=2t代入y=-
1
4
x2+
3
2
x+4，得y=-t2+3t+4，
所以P（2t，-t2+3t+4）．
如图，连接OP．
则S四边形PBCA=S△BOP+S△AOP+S△AOC
=
1
2
×4×2t+
1
2
×8×（-t2+3t+4）+
1
2
×4×8
=-4t2+16t+32（0＜t＜4）．
∵-4t2+16t+32=-4（t2-4t）+32=-4（t-2）2+48，
∴当t=2时，四边形PBCA的面积最大，最大面积为48；

（3）①如图，以BP为平行四边形的一边时，BP∥AQ，BP=AQ．
∵A（8，0），C（0，-4），
∴直线AC的解析式为y=
1
2
x-4，
设直线BP的解析式为y=
1
2
x+m，将B（0，4）代入，
解得m=4，
即直线BP的解析式为y=
1
2
x+4．
解方程组
y=
1
2
x+4
y=-
1
4
x2+
3
2
x+4
，
解得
x=4
y=6
，
∴P（4，6），
∵B（0，4），BP∥AQ，BP=AQ，
∴Q1（4，-2），Q2（12，2）；
②如图，当以BP为平行四边形的对角线时，
AB∥PQ，AB=PQ．设P（x，y），可得Q（x-8，y+4），
点Q在直线AC上，yAC=
1
2
x-4，
把Q（x-8，y+4）代入yAC=
1
2
x-4，解得：y=
1
2
x-12，
又∵y=-
1
4
x2+
3
2
x+4，
∴-
1
4
x2+
3
2
x+4=
1
2
x-12，
解得x1=2
17
+2，x2=2-2
17
（不合题意，舍去）．
∴Q3（2
17
-6，
17
-7）．
综上所述：P、Q、B、A四点构成的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为：Q1（4，-2），Q2（12，2），Q3（2
17
-6，
17
-7）．
练习册系列答案
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如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，
2
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（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；
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3
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3
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A．1B．2C．3D．4
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（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
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y=x2+px+qpq△x1x2d
y=x2-5x+6-561231
y=x2-
1
2
x		-
1
2
1
4
1
2
y=x2+x-2-2-23

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