Question

已知二次函数y=-x²+（m-2）x+m+1．
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）当m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

Answer 1

（1）证明：△=（m-2）²-4×（-1）×（m+1）
=m²+8，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，即△＞0，
∴不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；

（2）设二次函数的图象与x轴有两个交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），则x₁和x₂为关于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的两不等实数根，且x₁＜0，x₂＜0，
∴x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，
∴m＜-1；
即m＜-1时，这两个交点都在原点的左侧；

（3）根据题意得x=-

m-2

2×(-1)

=0，
解得m=2，
即m=2时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴．