题目内容

⊙O中，AB是直径，AC=8，BC=6，CD平分∠ACB，则CD=

A.
7 $数学公式$
B.
7 $数学公式$
C.
$数学公式$ $数学公式$
D.
$数学公式$ $数学公式$

B
分析：根据直径所对的圆周角是直角，以及角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=45°，过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM= $\text{[math]}$ AC，BN= $\text{[math]}$ BC，再利用角角边定理证明△ADM与△BDN全等，根据全等三角形对应边相等得到DN=AM，所以DN=CM，从而得到CM+CN=DN+CN=CD．
解答：

解：过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，
∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM= $\text{[math]}$ AC= $\text{[math]}$ ×8=4 $\text{[math]}$ ，在Rt△BCN中，CN= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ ×6=3 $\text{[math]}$ ，
∴CM+CN=7 $\text{[math]}$
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM与△BDN中，
$\text{[math]}$ ，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=7 $\text{[math]}$ ．
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键．