Question

如图⊙O中，AB是直径，AC和AD是弦，且AD平分∠BAC，过D作AC的垂线交AC的延长线于E，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AE=4，AB=5，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，只需证明OD⊥DE即可；
（2）利用圆周角定理：直径所对圆周角为直角和已知条件判定△AED∽△ADB，进而求出AD的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠AOD=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAO，
∴△AED∽△ADB，
∴

AE

AD

=

AD

AB

，
∴

4

AD

=

AD

5

∴AD=2

5

．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可，还考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理．