Question

【题目】已知函数 其中是常数，且＞0．

（1）若点（，2）在函数的图象上，求的值．

（2）当=1时，①当≤≤2时，求函数值的取值范围．

②当≤≤时，函数图象上的点到轴的距离恒（永远）小于6，求的取值范围．

（3）直接写出函数图象与有两个交点时的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①0＜≤3，4＜≤10； ② ≤≤；（3），≤＜，＜＜

【解析】

（1）根据题意，把点（，2）分别代入解析式，求出n的值，然后结合n的取值范围，即可得到答案.

（2）①当n=1时，求出代数式，然后根据x的取值范围，分别求出y的取值范围，即可得到答案；

②结合图像y=6与函数图像的交点，找出临界点，然后根据函数图象上的点到轴的距离恒（永远）小于6，即可求出t的取值范围；

（3）根据题意，可分为两种情况：当时，先计算函数的顶点坐标，纵坐标相等，然后求出n的值；当时，找出有两个交点时的临界点，然后通过计算，求出n的取值范围，即可得到答案.

解：（1）当点（，2）在函数时，

有，

解得：（不符合题意，舍去）；

当点（，2）在函数的图象上时，

有，

解得：（负值舍去），

∴；

当点（，2）在函数的图象上时，

有，

解得：（舍去），.

综上所述，或.

（2）当时，

①当≤≤2时，有≤＜，≤≤1，1＜≤2三段.

取≤＜时，有，

∴4＜≤10；

取≤≤1，有，

∴1≤≤2；

取1＜≤2，有，

∴0＜≤3.

∴ 综上所述，0＜≤3，4＜≤10.

②当=1时，函数图象如图所示.

当时，有，

解得：，（舍去）；

当，

解得：（舍去），；

∴≤≤时，≤6.

∴ ，

∴ ≤≤.

（3）∵，

∴ 顶点坐标是（，）；

∵，

∴顶点坐标是（，）；

∴=，

解得：（负值舍去），

∴；

当时，，

∴=，

解得：，.

∵，解得：，

结合，.

∴函数图象与有两个交点时，的取值范围是：或≤＜或＜＜.