Question

15．如图，已知点A（n，6），B（6，m）在双曲线y=$\frac{6}{x}$的图象上，以AB为直径的eM与x轴交于点E（3，0）和点F，抛物线y=ax²+bx+12（a≠0）的图象经过点A、E、F．
（1）填空：n=1，m=1；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，与⊙M的另一交点为G，连结CG，试证明直线CG与⊙M相切．

Answer 1

分析 （1）将两个点的坐标代入到反比例函数的解析式即可求得m和n的值；
（2）将A和点E的坐标代入二次函数的解析式即可求得a、b的值，从而确定二次函数的解析式；
（3）得到CG²+MG²=CM²后即可得到△CMG是直角三角形，且MG⊥CG，从而判定直线CG与⊙M相切．

解答 解：（1）∵A（n，6），B（6，m）在双曲线y=$\frac{6}{x}$的图象上
∴n=1，m=1；
（2）依题意，把A（1，6），E（3，0）代入y=ax²+bx+12中，
得$\left\{\begin{array}{l}a+b+12=6\\ 9a+3b+12=0\end{array}\right.$（4分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-7\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-7x+12；
（3）由（2）有抛物线解析式为y=x²-7x+12，
令x=0，则y=12，
∴C（0，12），
∵A（1，6），B（6，1）
∴M（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{2}$），
∵点A、G关于抛物线的对称轴$x=\frac{7}{2}$对称
∴G（6，6），
连结CM，MG，AG，延长GA交y轴于点I，过M点作MN⊥AG于N，
过M点作y轴的垂线，交y轴于H点，根据勾股定理可求得：CM²=MH²+CH²=3.5²+8.5²=85，
CG²=GI²+CI²=6²+6²=72，
MG²=MN²+NG²=2.5²+2.5²=13，
∴CG²+MG²=CM²
∴△CMG是直角三角形，且MG⊥CG，
∴直线CG与⊙M相切．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和反比例函数的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．