题目内容

如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD= $数学公式$ ．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．
（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）求出t为何值时，△CMQ为等腰三角形？

解：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，如图，
由AD=2，BC=4，AB=CD= $\text{[math]}$ ，得
AE=2．
∵ND=t，∴PC=1+t．
∴ $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）∵点M以每秒2个单位长运动，
∴BM=2t，CM=4-2t．
∴S_△CMQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即S= $\text{[math]}$ ．

（3）①若QM=QC，
∵QP⊥MC，
∴MP=CP．而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，∴t= $\text{[math]}$ ．
②若CQ=CM，
∵CQ²=CP²+PQ²= $\text{[math]}$ ，
∴CQ= $\text{[math]}$ ．
∵CM=4-2t，
∴ $\text{[math]}$ =4-2t．
∴ $\text{[math]}$ ．
③若MQ=MC，
∵MQ²=MP²+PQ²= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（4-2t）²，即 $\text{[math]}$ ．
解得t= $\text{[math]}$ 或t=-1（舍去）．
∴t= $\text{[math]}$ ．
∴当t的值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，
△CMQ为等腰三角形．
分析：（1）过点A作AE⊥BC，交BC于点E，在△ABE中，由等腰梯形性质得BE=1，由勾股定理得AE=2，可推CE=3，ND=x，PC=1+x，由AE∥PQ得比例，表示线段PQ；
（2）由已知可得BM=2t，CM=4-2t，△CMQ的底CM、高PQ都可表示，就可表示面积了；
（3）△CMQ为等腰三角形，有三种可能，即：QM=QC，QC=CM，QM=CM，针对每一种情况，根据图形特征，线段长度，运用勾股定理解答．
点评：本题考查了等腰梯形、等腰三角形、相似三角形的性质，勾股定理的运用，分类讨论的数学思想，有较强的综合性．