Question

19．已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-2，y₁），（-1，y₂），（1，0），且y₁＜0＜y₂，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有$\frac{a}{b}$x²+x≥-$\frac{b}{4a}$；④在-2＜x＜-1中存在一个实数x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，其中结论错误的是②（只填写序号）．

Answer 1

分析 ①正确．画出函数图象即可判断．
②错误．由图象可知，-$\frac{b}{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，推出b＞a，故b-a可以是正数，所以a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，故错误．
③正确．利用函数y₁=$\frac{a}{b}$x²+x=$\frac{a}{b}$（x²+$\frac{b}{a}$x）=$\frac{a}{b}$（x+$\frac{b}{2a}$）²-$\frac{b}{4a}$，根据函数的最值问题即可解决．
④令y=0则ax²+bx-a-b=0，设它的两个根为x₁，1，则x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，求出x₁即可解决问题．

解答 解：由题意二次函数图象如图所示，

∴a＜0．b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
∵-$\frac{b}{2a}$＞-$\frac{1}{2}$，
∵a＜0，
∴b＞a，
∴b-a＞0，
∵a+b+c=0，
∴c=-a-b，
∴a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a＞0，
∴a+3b+2c≤0，故②错误．
∵函数y₁=$\frac{a}{b}$x²+x=$\frac{a}{b}$（x²+$\frac{b}{a}$x）=$\frac{a}{b}$（x+$\frac{b}{2a}$）²-$\frac{b}{4a}$，
∵$\frac{a}{b}$＞0，
∴函数y₁有最小值-$\frac{b}{4a}$，
∴$\frac{a}{b}$x²+x≥-$\frac{b}{4a}$，故③正确．
∵y=ax²+bx+c的图象经过点（1，0），
∴a+b+c=0，
∴c=-a-b，
令y=0则ax²+bx-a-b=0，设它的两个根为x₁，1，
∵x₁•1=$\frac{-a-b}{a}$=-$\frac{a+b}{a}$，
∴x₁=-$\frac{a+b}{a}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴在-2＜x＜-1中存在一个实数x₀，使得x₀=-$\frac{a+b}{a}$，故④正确，
故答案为②．

点评 本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．