题目内容

如图，点A在双曲线y= $数学公式$ 的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________．

$\text{[math]}$
分析：由AE=3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k=ab，AB=a，OC=2AB=2a，BD=OD= $\text{[math]}$ b，利用S_梯形OBAC=S_△ABD+S_△ADC+S_△ODC得 $\text{[math]}$ （a+2a）×b= $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ b+4+ $\text{[math]}$ ×2a× $\text{[math]}$ b，整理可得ab= $\text{[math]}$ ，即可得到k的值．
解答：

解：连DC，如图，
∵AE=3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB=a，OC=2AB=2a，
而点D为OB的中点，
∴BD=OD= $\text{[math]}$ b，
∵S_梯形OBAC=S_△ABD+S_△ADC+S_△ODC，
∴ $\text{[math]}$ （a+2a）×b= $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ b+4+ $\text{[math]}$ ×2a× $\text{[math]}$ b，
∴ab= $\text{[math]}$ ，
把A（a，b）代入双曲线y= $\text{[math]}$ ，
∴k=ab= $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系．