Question

3．请在括号内完成证明过程和填写上推理依据．
如图，已知：AB和CD相交于点O，∠C=∠AOC，∠D=∠BOD，延长DB到点E，且∠CAB的平分线AF和∠ABE的平分线BF相交于点F．
求证：AF⊥BF．
证明：∵∠C=∠AOC，∠D=∠BOD
又∵∠COA=∠BOD（对顶角相等）
∴∠C=∠D∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）
∴∠CAB+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CAB的平分线AF和∠ABE的平分线BF相交于点F
∴∠FAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABE
∴$\frac{1}{2}∠CAB+\frac{1}{2}∠ABE=\frac{1}{2}×{180°}$
即∠FAB+∠ABF=90°
又∵∠FAB+∠ABF+∠AFB=180°
∴∠AFB=90°∴AF⊥BF（垂直定义）

Answer 1

分析 根据平行线的判定和性质得出∠FAB+∠ABF=90°进行证明即可．

解答 证明：∵∠C=∠AOC，∠D=∠BOD
又∵∠COA=∠BOD（对顶角相等 ）
∴∠C=∠D，
∴AC∥BD（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠CAB+∠ABE=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CAB的平分线AF和∠ABE的平分线BF相交于点F
∴∠FAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABE
∴$\frac{1}{2}∠CAB+\frac{1}{2}∠ABE=\frac{1}{2}×{180°}$
即∠FAB+∠ABF=90°
又∵∠FAB+∠ABF+∠AFB=180°
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF（垂直定义）
故答案为：（1）对顶角相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）两直线平行，同旁内角互补；（4）垂直定义．

点评 此题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．