Question

平行四边形ABCD中，以AB为直径的⊙O交CD于M，交AD于E，且AM平分∠BAD，连接BE交AM于F．
（1）求证：DM=CM；
（2）若AD=5，AM=8，求AE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）首先连接OM，易得AD∥OM，然后由平行线分线段成比例定理，证得DM=CM；
（2）由平行四边形的性质，可求得AB=10，由圆周角定理，可得∠AEB=∠AMB=90°，∠EAF=∠EBM=∠BAM，然后由三角函数的性质，求得答案．

解答：（1）证明：连接OM，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∵AM平分∠BAD，
∴∠DAM=∠∠OAM，
∴∠DAM=∠OMA，
∴AD∥OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AD∥OM∥BC，
∵OA=OB，
∴DM=CM；

（2）解：∵OM∥AD，AB∥CD，
∴四边形OADM是平行四边形，
∴OM=AD=5，
∴AB=10，
∵AB是直径，
∴∠AMB=∠AEB=90°，
∴BM=

AB2-AM2

=6，
∴∠MBE=∠DAM=∠BAM，
∴tan∠MBE=

MF

MB

，tan∠BAM=

BM

AM

=

6

8

=

3

4

，
∴MF=

3

4

BM=

9

2

，
∴AF=AM-MF=

7

2

，
∴AE=AF•cos∠DAM=AF•cos∠BAM=

7

2

×

8

10

=

14

5

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．