Question

20．已知：在平面直角坐标系中，直线y=-x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一个交点为P（$\sqrt{6}$，m）．
（1）求k的值；
（2）将直线y=-x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；
（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法即可得出结论；
（2）先由QB=2AB，得出AQ=3AB，进而判断出△AOB∽△AEQ，即可得出点Q（-2c，3c），再用待定系数法求出c即可；
（3）先确定出直线OQ的解析式，进而得出CQ的解析式，用OQ=CQ建立方程即可确定出点C的坐标，即可得出结论．

解答 解：（1）∵P（$\sqrt{6}$，m）在直线y=-x上，
∴m=-$\sqrt{6}$，
∴P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），
∵P在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=$\sqrt{6}$×（-$\sqrt{6}$）=-6，
（2）如图1，

设直线AB的解析式为y=-x+c，
∴A（c，0），B（0，c），
∴OA=OB=c，
过点Q作QE⊥x轴，
∴OB∥QE，
∴△AOB∽△AEQ，
∴$\frac{OA}{AE}=\frac{OB}{QE}$=$\frac{AB}{AQ}$，
∵BQ=2AB，
∴AQ=3AB，
∴$\frac{OA}{AE}=\frac{OB}{QE}=\frac{1}{3}$，
∴AE=3OA=3c，QE=3OB=3c，
∴OE=AE-OA=2c，
∵点Q在第二象限，
∴Q（-2c，3c），
∵点Q在双曲线y=-$\frac{6}{x}$上，
∴-2c×3c=-6，
∴c=-1（舍）或c=1；
（3）如图2，

由（2）知，c=1，
∴A（1，0），B（0，1），Q（-2，3），
∴直线OQ的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x，
由旋转知，CQ=OQ，OQ⊥CQ，
∴直线CQ的解析式为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{13}{3}$，
∴D（0，$\frac{13}{3}$），
设C（n，$\frac{2}{3}$n+$\frac{13}{3}$），
∵Q（-2，3），
∴OQ²=13，CQ²=（n+2）²+（$\frac{2}{3}$n+$\frac{13}{3}$-3）²=$\frac{13}{9}$（n+2）²，
∴13=$\frac{13}{9}$（n+2）²，
∴n=-5（舍）或n=1，
∴C（1，5），
∵A（1，0），
∴AC=5，
∵B（0，1），D（0，$\frac{13}{3}$），
∴BD=$\frac{13}{3}$-1=$\frac{10}{3}$，
∴BD：AC=$\frac{10}{3}$：5=2：3．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解（2）的关键是构造相似三角形即可用c表示出点Q的坐标，解（3）的关键是确定出点C的坐标．