题目内容

如图，在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D点，∠CAB=45°，BD=3，CD=2，则AD=________．

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分析：设AD=x，则由勾股定理求出AC= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ ，根据S_△ABC= $\text{[math]}$ AC×ABsin∠CAB，推出S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，根据三角形的面积公式得出S_△ABC= $\text{[math]}$ BC×AD= $\text{[math]}$ ，推出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =5x，求出方程的解即可．
解答：设AD=x，则由勾股定理得：AC= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AC×ABsin∠CAB，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，
∵S_△ABC= $\text{[math]}$ BC×AD= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =5x，
∴x=±1，x=±6，
∵x表示高AD长，
∴x=±1，x=-6舍去，
∴AD=x=6，
故答案为：6．
点评：本题考查了圆内接四边形和三角形的面积的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但有一定的难度．