题目内容
如图，在⊙O的内接△ABC中，AB=AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．（1）求证：AB2=AD•AP；
（2）若⊙O的直径为25，AB=20，AD=15，求PC和DC的长．
分析：（1）欲证AB2=AD•AP，需证AC2=AD•AP，因此只需证△ADC∽△ACP即可；
（2）由（1）的结论可求出AP的长，过点A作直径AE交BC于点F，用相交弦定理的推论可求出AF的长，进而可求出BF、CF的长．在Rt△APF中，已知AP、AF的长，可用勾股定理求出PF的长，进而可求出PC的长，根据割线定理，可求出PD的长．
（2）由（1）的结论可求出AP的长，过点A作直径AE交BC于点F，用相交弦定理的推论可求出AF的长，进而可求出BF、CF的长．在Rt△APF中，已知AP、AF的长，可用勾股定理求出PF的长，进而可求出PC的长，根据割线定理，可求出PD的长．
解答：（1）证明：∵∠ADC+∠B=180°，∠B=∠ACB
∴∠ACP+∠ACB=∠ACP+∠B=180°
∴∠ADC=∠ACP
∴△ADC∽△ACP
∴
=
，即
=
所以AB2=AD•AP；
（2）解：过点A作直径AE交BC于点F．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直平分BC
设AF=a，则EF=25-a，BF=
由BF2=AF•EF，得400-a2=a（25-a）
所以AF=a=16，BF=FC=12．
方法1：
由（1）AB2=AD•AP得：AP=
=
=
在Rt△AFP中，PF=
=
=
∴PC=PF-FC=
-12=
又由△PCD∽△PAB得：
=
∴DC=
=
=7；
方法2：（前面部分给分相同）连接BE、EC、BD．
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，且BE=
=15
∴EC=BE=15，又已知AD=15，∴AD=EC
∴DC∥AE，即DC⊥BC，则BD是直径
∴DC=
=
=7
在Rt△PCD中，PD=PA-AD=
-15=
∴PC=
=
．
∴∠ACP+∠ACB=∠ACP+∠B=180°
∴∠ADC=∠ACP
∴△ADC∽△ACP
∴
| AD |
| AC |
| AC |
| AP |
| AD |
| AB |
| AB |
| AP |
所以AB2=AD•AP；
（2）解：过点A作直径AE交BC于点F．
∵△ABC是等腰三角形，
∴AE垂直平分BC
设AF=a，则EF=25-a，BF=
| 400-a2 |
由BF2=AF•EF，得400-a2=a（25-a）
所以AF=a=16，BF=FC=12．
方法1：
由（1）AB2=AD•AP得：AP=
| AB2 |
| AD |
| 400 |
| 15 |
| 80 |
| 3 |
在Rt△AFP中，PF=
| AP2-AF2 |
(
|
| 64 |
| 3 |
∴PC=PF-FC=
| 64 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
又由△PCD∽△PAB得：
| DC |
| AB |
| PC |
| PA |
∴DC=
| PC•AB |
| PA |
| 28×20 |
| 80 |
方法2：（前面部分给分相同）连接BE、EC、BD．
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，且BE=
| 252-202 |
∴EC=BE=15，又已知AD=15，∴AD=EC
∴DC∥AE，即DC⊥BC，则BD是直径
∴DC=
| BD2-BC2 |
| 252-242 |
在Rt△PCD中，PD=PA-AD=
| 80 |
| 3 |
| 35 |
| 3 |
∴PC=
(
|
| 28 |
| 3 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用．综合性强，难度较大．
练习册系列答案
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B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=90°，则∠A=