Question

如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB+AD=12，对角线AC是⊙O的直径，AE⊥BD，垂足为E，AE=3．设⊙O的半径为y，AB的长为x．
（1）求y与x函数关系式；
（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大，并求出⊙O的最大面积．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理，可知∠ABE=∠ACD，而等角的三角函数值相等，于是可得关于x、y的比例关系式，整理可得函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式，结合二次函数的性质，可求当x等于多少时，y的最大值，从而求出半径，再利用圆的面积公式可求⊙O的面积．

解答：解：（1）∵∠ABE=∠ACD，
∴sin∠ABE=sin∠ACD，
∴

12-x

2y

=

3

x

，
∴y=-

1

6

x²+2x．

（2）根据（1）中的函数解析式，
当x=-

b

2a

=

-2

2×(- 1 6 )

=6时，
y有最大值，且最大值=

4ac-b2

4a

=

4×(- 1 6 )×0-22

4×(- 1 6 )

=6，
即当x=6时，半径y有最大值是6，
∴S_⊙O=πy²=36π．

点评：本题主要考查了圆周角定理、三角函数值、二次函数的性质，此题难度较大．