Question

1．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．
（1）求证：BD=DC；
（2）判断DE与AC的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙O的直径为32，cos∠B=$\frac{1}{4}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O直径得到∠ADC=90°，而AC=AB，得到结论；
（2）先判断出∠CAD=∠ODA，再判断出∠CAD+∠ADE=90°即可；
（3）先由cos∠B=$\frac{1}{4}$，得出BD=8，再判断出△DEC∽△ADC，得到$\frac{EC}{DC}=\frac{DC}{AC}$，代值计算即可．

解答 解：（1）如图：连接AD，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，DB=DC，
即：DB=DC，
（2）DE⊥AC，连接OD，
由（1）∠BAD=∠CAD
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴DE⊥AC；
（3∵⊙O的直径为32，cos∠B=$\frac{1}{4}$，
∴cos∠B=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BD}{32}$=$\frac{1}{4}$，
∴BD=8，
∴CD=BD=8，
∵∠C=∠C，∠DEC=∠ADC=90°，
∴△DEC∽△ADC，
∴$\frac{EC}{DC}=\frac{DC}{AC}$，
∵AC=AB=32，
∴$\frac{EC}{8}=\frac{8}{32}$，
∴EC=2．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了直径所对对的圆周角为直角，切线的性质，锐角三角函数，三角形相似的判定和性质，直角三角形的判定，解本题的关键灵活运用互余判断出角相等或互余．