Question

【题目】如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以为圆心1为半径作，为上的一个动点，连接，，则面积的最大值为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．

解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

∵过P的直线是⊙D的切线，

∴DP垂直于切线，

延长PD交AC于M，则DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，

∴AC=

∴OA=，

∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴，

∵AD=4，CD=3，AC=5，

∴DM=，

∴PM=PD+DM=1+=，

∴△AOP的最大面积=OAPM=××=，

故答案为：．