Question

【题目】如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点，下面结论：①为等腰三角形；②；③；④；⑤中，正确结论的个数是（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

首先根据旋转性质得出，从而对结论①进行判断，然后通过对三角形内部角度之间的计算进一步对结论④进行判断，再后通过证明∠=∠BDC，∠=∠BCD对结论②进行判断，再者进一步求出∠的度数，由此判断结论③，最后过点D作DM⊥，通过证明△ABD~△，利用相似三角形性质进一步分析结论⑤，据此即可得出答案.

由旋转性质可知：，

∴为等腰三角形，即①正确；

∵∠ACB=30°，

∴∠=∠=30°，

又∵∠=∠BAC=45°，

∴∠=75°，

∴∠=180°75°30°=75°，

∴CA=，即④正确；

∵∠BAC=45°，

∴∠=45°+75°=120°，

∵=AB，

∴∠=∠ABD=30°，

在△与△BCD中，

∵∠=∠BDC，∠=∠BCD=30°，

∴△~△BCD，即②正确；

∵∠=∠+∠=120°，

∴旋转角，即③错误；

在△ABD与△中，

∵∠ABD=∠，∠ADB=∠，

∴△ABD~△，

∴，

如图，过点D作DM⊥，

设DM=，则，，，，

∴AC=，

∴AD=，

∴，即⑤正确；

综上所述，共4个正确，

故选：C.