Question

10．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式y=-x²-2x+3，令y=0求得x即可；
（2）设点D坐标为（-1，y_D），根据三角形的面积公式以及△ACD与△ACB面积相等，即可得出关于y_D含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；

解答 解：（1）令y=0代入y=-x²-2x+3，
∴-x²-2x+3=0，
解得：x=1或x=-3，
∴A（-3，0），B（1，0）；

（2）如图所示．

∵A（-3，0），B（1，0），
∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．
设AC交对称轴x=-1于F（-1，y_F），
由点A（-3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，
∴y_F=-1+3=2，即F（-1，2）．
设点D坐标为（-1，y_D），
则S_△ADC=$\frac{1}{2}$DF•AO=$\frac{1}{2}$×|y_D-2|×3．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[1-（-3）]×3=6，且S_△ADC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×|y_D-2|×3．=6，解得：y_D=-2或y_D=6．
∴点D的坐标为（-1，-2）或（-1，6）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是找出关于y_D含绝对值符号的一元一次方程．