Question

【题目】在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如图1，当BE＝2时，求FC的长；

（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．

①依题意将图2补全；

②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE＝PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：

想法1：在AB上截取AG＝EC，连接EG，要证AE＝PE，需证△AGE≌△ECP．

想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE＝PE，需证△EHP为等腰三角形．

想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE＝PE，需证四边形MCPE为平行四边形．

请你参考上面的想法，帮助小京证明AE＝PE．（一种方法即可）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）①根据题意画图；
②在AB上截取AG=EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明．

解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE＝2，

∴EC＝3．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AGE∽△ECF，

∴，即，

∴FC＝；

（2）①依题意补全图形：

②证明：在AB上截取AG＝EC，连接EG．

∵AB＝BC，

∴GB＝EB．

∵∠B＝90°，

∴∠BGE＝45°，

∴∠AGE＝135°．

∵∠DCB＝90°，CP是正方形ABCD外角平分线，

∴∠ECP＝135°．

∴∠AGE＝∠ECP．

在△AGE和△ECP中，

，

∴△AGE≌△ECP．

∴AE＝PE．