Question

17．二次函数y=2$\sqrt{3}$x²的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则点C的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=$\sqrt{3}$BD，设BD=t，则OD=$\sqrt{3}$t，B（t，$\sqrt{3}$t），利用二次函数图象上点的坐标特征得2$\sqrt{3}$t²=$\sqrt{3}$t，得出BD=$\frac{1}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后根据菱形的性质得出C点坐标．

解答 解：连结BC交OA于D，如图，
∵四边形OBAC为菱形，
∴BC⊥OA，
∵∠OBA=120°，
∴∠OBD=60°，
∴OD=$\sqrt{3}$BD，
设BD=t，则OD=$\sqrt{3}$t，
∴B（t，$\sqrt{3}$t），
把B（t，$\sqrt{3}$t）代入y=2$\sqrt{3}$x²得2$\sqrt{3}$t²=$\sqrt{3}$t，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{1}{2}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故C点坐标为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出BD的长是解题关键．