Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBO与△AOC相似？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）利用相似三角形的性质，利用AO=1，CO=3，得出PO的长，进而得出答案；
（3）由题知A、B两点关于抛物线的对称x=-1对称，直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，首先求出直线BC的解析式，进而得出Q点坐标即为

x=-1 y+x+3

的解，即可得出答案．

解答：解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
∴解得：

b=-2 c=3

，
∴抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）当x=0，则y=3，
∴C点坐标为：（0，3），
∴AO=1，CO=3，
∵B（-3，0），
∴BO=3，
∴当PO=1时，
△PBO与△AOC相似，
∴P₁（0，-1）、P₂（0，1），
当PO=9时，△PBO与△AOC相似，
P₃（0，9）、P₄（0，-9）；
综上所示：P₁（0，-1）、P₂（0，1），P₃（0，9）、P₄（0，-9）；

（3）存在，
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小
∵y=-x²-2x+3，
∵C的坐标为：（0，3），B（-3，0），设直线BC解析式为：y=kx+d，
∴

-3k+d=0 d=3

，
解得：

k=1 d=3

，
∴直线BC解析式为：y=x+3；
Q点坐标即为

x=-1 y=x+3

的解，
∴

x=-1 y=2

，
∴Q（-1，2）．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式以及利用轴对称求最短路线和相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．